关于正方体涂色问题

1.正方体涂色问题

(1)1+3+5+7+…+2003=(1+2003)*202/2=1004004

(2)n(n-1)/2=50*(50+1)/2=1225

(3)把正方体N等分(N>=3),则

三面涂色的只有角上的8块;

两面涂色的是棱上(不包含角)的有12*(N-2) = (12N-24)块;

一面涂色的是面上的(不含棱不含角)的有5*(N-2)*(N-2)块;

一个面都没有涂色的有N*N*N-8-(12N-24)-5*(N-2)*(N-2)块

2.涂色的正方体

分情况考虑:

1、当n>2时:

恰有一面涂了色的小正方体,即6个面除去边缘一圈中间的那些小正方体,它们的个数为:

6*(n-2)²

各面均未涂色的小正方体的个数,为:

(n-2)³

所以

6*(n-2)²=(n-2)³

6=n-2

n=8

2、当n=2时,易知此时所有的8个正方体都是有3个面被涂色,恰有一面涂了色的小正方体的个数和各面均未涂色的小正方体的个数都是0,也符合条件。

3、当n=1时,就只有一个正方体,此时恰有一面涂了色的小正方体的个数和各面均未涂色的小正方体的个数也都是0,也符合条件。

综上所述,n=1、2或8。

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